【資料圖】

1、3. 代入消元法　?。?）概念：將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法. 　?。?）代入法解二元一次方程組的步驟 　?、龠x取一個系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)； 　　②將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程（在代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的. ）； 　?、劢膺@個一元一次方程，求出未知數(shù)的值； 　?、軐⑶蟮玫奈粗獢?shù)的值代入①中變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的值； 　　⑤用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解； 　?、拮詈髾z驗求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右邊）. 　　例題： 　　{x-y=3 ①　 　　{3x-8y=4②　 　　由①得x=y+3③　 　　③代入②得　 　　3（y+3)-8y=4　 　　y=1　 　　所以x=4　 　　則：這個二元一次方程組的解　 　　{x=4　 　　{y=14. 加減消元法　?。?）概念：當方程中兩個方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法. 　?。?）加減法解二元一次方程組的步驟 　　①利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個未知數(shù)的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式； 　?、谠倮玫仁降幕拘再|(zhì)將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數(shù)，切忌只乘以一邊，然后若未知數(shù)系數(shù)相等則用減法，若未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法）； 　?、劢膺@個一元一次方程，求出未知數(shù)的值； 　?、軐⑶蟮玫奈粗獢?shù)的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值； 　　⑤用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解； 　?、拮詈髾z驗求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右邊）.編輯本段三、重點難點　　本節(jié)重點內(nèi)容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點是根據(jù)方程的具體形式選擇合適的解法。

2、 　　典型例題 　　例1.下列各方程中，哪個是二元一次方程？ 　?。?）8x－y=y；（2）xy=3；（3）2x－y=9；（4）8x-3=2. 　　分析：此題判斷的根據(jù)是二元一次方程的定義. 由于方程（2）中含未知數(shù)的項xy的次數(shù)是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2x－y=9是二元一次方程；又因為方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程. 　　解：方程8x－y=y，2x－y=9是二元一次方程；xy=3，8x-3=2不是二元一次方程. 　　評析：判定某個方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根據(jù)定義進行判斷. 　　例2.已知-1是方程組的解，求m+n的值. 　　分析：因為是方程組的解，所以同時滿足方程①和方程②，將分別代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n的值. 　　解：因為是方程組的解，所以將其代入原方程組中的兩個方程仍成立，即解得所以m+n=－1+0=－1. 　　評析：應(yīng)該仔細體會“已知方程組的解是……”這類已知條件的用法，并加深理解方程組的解的意義. 　　例3.寫出二元一次方程4x+y=20的所有正整數(shù)解. 　　分析：為了求解方便，先將原方程變形為y=20－4x，由于題中所要求的解限定于“正整數(shù)解”，所以x和y的值都必須是正整數(shù). 　　解：將原方程變形，得y=20－4x，因為x、y均為正整數(shù)，所以x只能取小于5的正整數(shù). 　　當x=1時，y=16；當x=2時，y=12；當x=3時，y=8；當x=4時，y=4. 　　即4x+y=20的所有正整數(shù)解是： 　　，，，. 　　評析：對“所有正整數(shù)解”的含義的理解要注意兩點：一要正確，二要不重不漏. “正確”的標準是兩個未知數(shù)的值都必須是正整數(shù)，且適合此方程. 　　例4.已知5︱x+y－3︱+（x－2y）=0，求x和y的值. 　　分析：根據(jù)絕對值和平方的意義可知，5︱x+y－3︱≥0，（x－2y）≥0，由已知條件5︱x+y－3︱+（x－2y）=0可得即從而可求出x和y的值. 　　解：由題意得即解得. 　　評析：非負值相加為零，有且只有它們同時為零. 　　例5.用代入法解方程組： 　　分析：選擇其中一個方程，將其變形成y=ax+b或x=ay+b的形式，代入另一個方程求解. 方程①中x、y系數(shù)相對較小，考慮到x=3－y，而y=，顯然在下面計算中x=3－y代入方程②計算簡捷. 　　解：由①得：x=3－y③ 　　把③代入②得：8（3－y）+3y+1=0 　　解得：y=125 　　將y=125代入③，得：x=－47 　　所以這個方程組的解為 　　評析：用代入法解方程組時，（1）選擇變形的方程要盡可能較簡單，表示的代數(shù)式也應(yīng)盡可能簡捷. （2）要對下面的計算進行預見、估計、以選擇較好的方法. 　　例6.用加減消元法解方程組 　　分析：題中x、y系數(shù)不相同，也不是互為相反數(shù)；x的系數(shù)為4和6，y的系數(shù)為3和－4，它們的最小公倍數(shù)均為12，都可以變?yōu)?2或－12，選擇消去x，還是消去y，其難易程度相當. 　　解：①×3得：12x+9y=27 ③ 　　②×2得：12x－8y=10 ④ 　?、郏艿茫?7y=17，解得y=1 　　把y=1代入①得：x= 　　所以原方程組的解為 　　評析：此題中在選擇消去x，還是消去y，關(guān)鍵是：（1）看系數(shù)是否有倍數(shù)關(guān)系，如一個為2x，一個為6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在沒有倍數(shù)、系數(shù)的條件下，看x、y系數(shù)的最小公倍數(shù)哪一個較小，通常消最小公倍數(shù)較小的未知數(shù).模擬試題　?。ù痤}時間：45分鐘） 　　一. 選擇題 　　1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ） 　　A. 4x－2π=5 B. 3x+5yC. 2x－5y=0 D. 2x－5=y 　　2. 如果是方程3x－ay=7的一個解，那么a=（ ） 　　A. 5 B. 3 C. 1 D. 4 　　3. 已知二元一次方程3x－2y=12，那么（ ） 　　A. 任意一對有理數(shù)都是它的解 　　B. 只有一個解 　　C. 有兩個解 　　D. 有無數(shù)多個解 　　*4. 二元一次方程x+y=4的正整數(shù)解的個數(shù)是（ ） 　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 　　5. 把二元一次方程3x－y=1寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式是（ ） 　　A. x= B. x= C. y=1－3xD. y=3x－1 　　6. 四名學生解二元一次方程組時提出四種不同的解法，其中解法不正確的是（ ） 　　A. 由①得x=，代入② B. 由①得y=，代入② 　　C. 由②得y=－，代入① D. 由②得x=3+2y，代入① 　　7. 方程組的解是（ ） 　　A. B. C. D. 　　*8. 方程（2x－y－3）+︱3x+4y－10︱=0的解是（ ） 　　A. B. C. D. 　　二. 填空題 　　1. 在二元一次方程2x+3y=4中，用含x的代數(shù)式表示y，則y=__________；用含y的代數(shù)式表示x，則x=__________；當x=－1時，y=__________；當y=－1時，x=__________. 　　2. 已知x=1，y=－2是二元一次方程5x+ky=1的一個解，則k=__________. 　　3. 解方程組得 　　4. 已知3x－y=1是二元一次方程，則m=__________，n=__________. 　　5. 如果x－2y=3，那么7－2x+4y=__________. 　　6. 若是方程組的一個解，則a=__________，b=__________. 　　*7. 關(guān)于x、y的二元一次方程－2x+y=0中，m+n=__________. 　　8. 若2ab與－ab是同類項，則x=__________，y=__________. 　　三. 解答題 　　1. 根據(jù)下列條件，設(shè)適當未知數(shù)列出二元一次方程或二元一次方程組. 　?。?）甲、乙兩商店共有練習本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲、乙兩店所剩的練習本數(shù)相等； 　?。?）甲數(shù)比乙數(shù)的2倍小1，試著寫出符合條件的一組解. 　　2. 用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M： 　　（1） 　?。?） 　?。?） 　　**3. 設(shè)二元一次方程ax+by+2=0的兩個解分別為，. 試判斷是否也是該方程的解. 　　*4. 已知m－3n=2m+n－15=1，求代數(shù)式m+n－4mn+3的值. 　　*5. 嘗試用消元的思想，化三元為二元，化二元為一元，解方程組.試題答案　　一. 選擇題 　　1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 　　二. 填空題 　　1. ；；2； 2. 2 3. 2 4. 3 －2 5. 1 6. 4 0 　　7. 0（提示：根據(jù)題意得，②－①得2m+2n=0，即m+n=0. 　　8. 1 5 　　三. 解答題 　　1. （1）設(shè)甲店有練習本x本，乙店有練習本y本，則. （2）設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，則x=2y－1. 如 等. 　　2. （1）（2） （3） 　　3. 把、分別代入二元一次方程ax+by+2=0中，得方程組，解得. 所以原二元一次方程是－x+y+2=0，即3x－y=4. 把代入3x－y=4中，等式成立，所以是方程ax+by+2=0的解. 　　4. 可解得m=7，n=2，所以m+n－4mn+3=0 　　5. （①+②+③）÷2，得x+y+z=12 ④，用④分別減去②、③、①，得…… 　　二元一次方程常用解法解法一般來說有兩種: 　　1.代入消元法:2,加減消元法. 　　這兩種解法在初中數(shù)學教科書中有詳細敘述這里就不在說了, 　　我們來看一下教科書中沒有的,但比較適用的幾種解法 　　(一)加減-代入混合使用的方法. 　　例1,13x+14y=41 (1) 　　14x+13y=40 (2) 　　解:(2)-(1)得 　　x-y=-1 　　x=y-1 (3) 　　把(3)代入(1)得 　　13(y-1)+14y=41 　　13y-13+14y=41 　　27y=54 　　y=2 　　把y=2代入(3)得 　　x=1 　　所以:x=1,y=2 　　特點:兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元. 　　(二)換元法 　　例2，(x+5)+(y-4)=8 　　(x+5)-(y-4)=4 　　令x+5=m,y-4=n 　　原方程可寫為 　　m+n=8 　　m-n=4 　　解得m=6,n=2 　　所以x+5=6,y-4=2 　　所以x=1,y=6 　　特點：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。

3、 　　（3）另類換元 　　例3，x:y=1:4 　　5x+6y=29 　　令x=t,y=4t 　　方程2可寫為：5t+6*4t=29 　　29t=29 　　t=1 　　所以x=1,y=4編輯本段方法總結(jié)　　1. 二元一次方程與一元一次方程有很多類似的地方，學習時可運用類比的思想方法，比較二元一次方程與一元一次方程有關(guān)概念的相同點和不同點. 這樣，不但能加深對概念的理解，提高對“元”和“次”的認識，而且能夠逐步培養(yǎng)類比分析和歸納、概括的能力. 　　2. 方程組中的兩個未知數(shù)一般是不能同時求出來的，必須先想辦法消去一個未知數(shù)，把解方程組的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題，這種思想方法就叫做“消元法”. 解二元一次方程組的基本思想方法就是通過消元將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”. 代入法、加減法是解二元一次方程組的基本方法，必須靈活運用.。

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